导数应用 · 隐零点

如何处理含参数的隐零点方程？

从分离参数、构造辅助函数到隐零点回代，完整拆解一道含参数不等式证明题。

高三18 分钟原稿转制 · POC

经典例题

题目

例 1 先独立思考，再阅读解析

已知函数

f(x)=(x+a-1)e^x-x\quad(a\in\mathbb R)

若 $a=1$ ，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,f(0))$ 处的切线方程；
若 $f(x)\ge 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；
若 $0<a<1,\ x>0$ ，证明： $f(x-a)+x-a>\ln x+a-1$ 。

可交互

参数如何改变函数图像？

a=1.0

拖动参数

a

当

a=1

时，图像在原点与

x

轴相切；第二问将证明要让图像始终不低于

x

轴，必须有

a\ge 1

。

第一问

求曲线在原点处的切线

代入参数并求导

当 $a=1$ 时，函数与导函数分别为

f(x)=xe^x-x,\qquad f'(x)=(x+1)e^x-1

求切点与斜率

f(0)=0,\qquad f'(0)=0

切点是原点，切线斜率为 $0$ ，所以切线方程为

\boxed{y=0}

第二问

分离参数，把恒成立问题变成求最值

把参数 a 单独放到一边

由于 $e^x>0$ ，原不等式可等价变形为

f(x)\ge0\iff a\ge \frac{x}{e^x}-x+1

令

g(x)=\frac{x}{e^x}-x+1

要使不等式对任意实数 $x$ 成立，只需找到 $g(x)$ 的最大值。

研究导函数的符号

g'(x)=\frac{1-x-e^x}{e^x}

设 $h(x)=1-x-e^x$ ，则

h'(x)=-1-e^x<0

因此 $h(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递减。又因为 $h(0)=0$ ，所以

x<0\Rightarrow g'(x)>0,\qquad x>0\Rightarrow g'(x)<0

得到最大值与参数范围

g_{\max}=g(0)=1

第三问 · 核心

构造函数，用隐零点回代消去参数

把待证不等式整理成一个函数

直接代入 $f(x-a)$ ，待证不等式等价于

(x-1)e^{x-a}-\ln x-a+1>0

设

p(x)=(x-1)e^{x-a}-\ln x-a+1\quad(x>0)

导函数中出现新的辅助函数

p'(x)=\frac{x^2e^{x-a}-1}{x}

因为 $x>0$ ，令

u(x)=x^2e^{x-a}-1

u'(x)=(x^2+2x)e^{x-a}>0

所以 $u(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上严格递增。

定位唯一的隐零点 m

由 $0<a<1$ 可得

u\!\left(\frac12\right)=\frac14e^{\frac12-a}-1<\frac12-1<0

u(1)=e^{1-a}-1>0

于是存在唯一的 $m\in(\frac12,1)$ ，使 $u(m)=0$ 。

m^2e^{m-a}=1

同一个隐零点方程写成两种形式：

消去指数

e^{m-a}=\frac1{m^2}

消去参数

a=2\ln m+m

由隐零点确定 p(x) 的最小值

当 $x\in(0,m)$ 时 $p'(x)<0$ ；当 $x\in(m,+\infty)$ 时 $p'(x)>0$ 。因此

p_{\min}=p(m)

将隐零点方程的两种形式同时代入：

p(m)=\frac{m-1}{m^2}-3\ln m-m+1

原稿校对提示

原稿第二个单调区间重复写成了 $(0,m)$ ，这里按推导校正为 $(m,+\infty)$ ，请教师终审确认。

用经典不等式放缩对数项

由

\ln x\le x-1\quad(x>0)

且 $m\in(\frac12,1)$ ，得到

\begin{aligned}p(m)&=\frac{m-1}{m^2}-3\ln m-m+1\\&>\frac{m-1}{m^2}-4m+4\\&=(m-1)\left(\frac1{m^2}-4\right)>0.\end{aligned}

最后一步中， $m-1<0$ 且 $\frac1{m^2}-4<0$ ，所以二者乘积为正。

学完带走

方法复盘：隐零点题的四步路径

01构造函数

把待证式整理为 $p(x)>0$

02再构造导函数

用 $u(x)$ 控制 $p'(x)$ 的符号

03设隐零点

证明存在唯一 $m$ 使 $u(m)=0$

04回代与放缩

消去参数和超越项，证明最小值为正

内容来源

由乐之数学教师原稿《3--含参隐零点回代题目详解.docx》转制为网页课程。公式、排版和交互图形正在进行首轮校对。