解析几何 · 椭圆

椭圆二级结论及应用解题（一）

系统整理准线、焦半径、斜率积、焦点三角形、焦点弦与富吉瑞定理，并配合动态图理解。

高二 / 高三24 分钟原稿转制 · POC

知识地图

从标准方程出发的四个基础结论

全文默认椭圆 $E:\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\quad(a>b>0)$ ，焦距参数 $c=\sqrt{a^2-b^2}$ ，离心率 $e=\frac ca$ ，左右焦点分别为 $F_1(-c,0),F_2(c,0)$ 。

1准线方程

x=\pm\frac{a^2}{c}

椭圆上一点到焦点与同侧准线的距离之比等于离心率 $e$ 。

2通径

\ell=\frac{2b^2}{a}

过焦点且垂直于长轴的弦长。

3焦半径

PF_1=a+ex_0,\qquad PF_2=a-ex_0

其中 $P(x_0,y_0)$ 是椭圆上任意一点。

4焦点弦的两段

AF=\frac{b^2}{a-c\cos\theta},\qquad BF=\frac{b^2}{a+c\cos\theta}

$\theta$ 为过焦点弦 $AB$ 的倾斜角。

中点弦斜率

若弦中点为 $M(x_0,y_0)$ ，则弦斜率满足

k_{AB}=-\frac{x_0b^2}{y_0a^2},\qquad k_{OM}\,k_{AB}=-\frac{b^2}{a^2}

高频模型

四种椭圆斜率积结论

下面四种图形看起来不同，本质上都来自标准椭圆方程的代数结构。

A长轴两端点模型

$A,B$ 为左右顶点， $P$ 为异于顶点的椭圆上一点：

k_{PA}k_{PB}=e^2-1=-\frac{b^2}{a^2}

B关于原点对称模型

$A,B$ 关于原点对称， $P$ 为异于二者的椭圆上一点：

k_{PA}k_{PB}=e^2-1

C任意弦中点模型

$M$ 是弦 $AB$ 的中点：

k_{OM}k_{AB}=e^2-1=-\frac{b^2}{a^2}

D切线模型

$AB$ 为椭圆在 $P$ 点处的切线：

k_{OP}k_{AB}=e^2-1=-\frac{b^2}{a^2}

核心结构

焦点三角形的常用结论

可交互

移动椭圆上的点 P

e\approx0.81

点 P 的位置

PF_1\approx7.49

PF_2\approx2.51

$PF_1+PF_2=2a=10$

无论怎样移动点

P

，两个焦半径之和始终不变。这是后续焦点三角形结论的共同起点。

设 $P(x_0,y_0)$ 是椭圆上异于长轴端点的一点， $\theta=\angle F_1PF_2$ 。由椭圆定义可得 $PF_1+PF_2=2a$ ，而 $F_1F_2=2c$ 。

1周长

C_{\triangle PF_1F_2}=2(a+c)

2面积

S_{\triangle PF_1F_2}=b^2\tan\frac\theta2=c|y_0|

3面积最大值

S_{\max}=bc

4焦半径乘积

PF_1\cdot PF_2=\frac{2b^2}{1+\cos\theta}

5离心率角公式

e=\frac{\sin\theta}{\sin\alpha+\sin\beta}

6角度约束

\cos\theta\ge 1-2e^2

二级结论

焦点三角形的内心

设 $I$ 为 $\triangle PF_1F_2$ 的内心， $E$ 为 $I$ 在 $x$ 轴上的垂足，则有：

\frac{IE}{IP}=e

I\left(ex_0,\frac{e}{e+1}y_0\right)

例 1 先独立思考，再阅读解析

若 $\triangle PF_1F_2$ 的面积是 $\triangle IF_1F_2$ 面积的 $3$ 倍，求椭圆离心率。

两三角形同底 $F_1F_2$ ，面积比等于高之比：

\frac{S_{\triangle PF_1F_2}}{S_{\triangle IF_1F_2}}=\frac{|y_0|}{\left|\frac{e}{e+1}y_0\right|}=\frac{e+1}{e}=3

\boxed{e=\frac12}

例 2 · 黄金椭圆先独立思考，再阅读解析

定义离心率 $e=\frac{\sqrt5-1}{2}$ 的椭圆为“黄金椭圆”。内心 $M$ 在直线 $PQ$ 上，且 $Q$ 位于焦点轴，求 $\frac{PQ}{MQ}$ 。

\frac{PM}{MQ}=\frac1e,\qquad \frac{PQ}{MQ}=1+\frac1e=\frac{3+\sqrt5}{2}

例 3 先独立思考，再阅读解析

直线 $OP,OI$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$ ，且 $k_1=\frac32k_2$ ，求离心率。

k_2=\frac{\frac{e}{e+1}y_0}{ex_0}=\frac1{e+1}\frac{y_0}{x_0}=\frac{k_1}{e+1}

k_1=\frac32k_2\Longrightarrow e=\frac12

运算模板

直线与椭圆联立：韦达定理与弦长

斜截式 y=kx+m

与 $E:\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\quad(a>b>0)$ 联立后：

(b^2+a^2k^2)x^2+2a^2kmx+a^2(m^2-b^2)=0

\Delta=4a^2b^2(b^2+a^2k^2-m^2)>0

x_1+x_2=-\frac{2a^2km}{b^2+a^2k^2},\qquad x_1x_2=\frac{a^2(m^2-b^2)}{b^2+a^2k^2}

y_1+y_2=\frac{2b^2m}{b^2+a^2k^2},\qquad y_1y_2=\frac{b^2(m^2-a^2k^2)}{b^2+a^2k^2}

|AB|=\frac{2ab\sqrt{(1+k^2)(b^2+a^2k^2-m^2)}}{b^2+a^2k^2}

反斜截式 x=ty+m

当直线斜率不存在或希望以 $y$ 为主元时：

(a^2+b^2t^2)y^2+2b^2tmy+b^2(m^2-a^2)=0

\Delta=4a^2b^2(a^2+b^2t^2-m^2)>0

y_1+y_2=-\frac{2b^2tm}{a^2+b^2t^2},\qquad y_1y_2=\frac{b^2(m^2-a^2)}{a^2+b^2t^2}

原稿校对提示

原稿这一处将第二个韦达量标作 $x_1x_2$ ；按以 $y$ 为未知量的方程，应为 $y_1y_2$ ，请教师终审确认。

进阶速查

焦点弦、准线模型与富吉瑞定理

9焦点分弦比例

弦 $AB$ 过焦点，焦点分弦比例为 $\lambda>1$ ，弦的倾斜角为 $\theta$ ：

e|\cos\theta|=\frac{\lambda-1}{\lambda+1}

10焦点弦与准线模型

右焦点 $F(c,0)$ 的焦点弦交椭圆于 $A,B$ ；同侧准线交 $x$ 轴于 $E$ 。按原稿构造交点 $Q$ 后：

点 $Q$ 落在 $x$ 轴上；
$Q$ 是线段 $FE$ 的中点；
由焦点—准线定义可得相应距离比等于 $e$ 。

焦点弦还满足倒数和：

\frac1{|AF|}+\frac1{|BF|}=\frac{2a}{b^2}

11富吉瑞定理（原稿命名）

已知椭圆上一点 $P(x_0,y_0)$ ，两条弦 $PA\perp PB$ ，则弦 $AB$ 恒过定点

M\left(\frac{a^2-b^2}{a^2}x_0,\frac{b^2-a^2}{b^2}y_0\right)

定点只由椭圆参数与已知点 $P$ 决定，与两条垂直弦的具体斜率无关。

内容来源

由乐之数学教师原稿《椭圆二级结论应用解题（一）.docx》转制为网页课程。公式、排版和交互图形正在进行首轮校对。